부산대학교 도서관

Le vocable ``quasigroupe'' a été introduit il y a trente ans (Ore-Haussmann, 1937), pour désigner une structure satisfaisant à tous les axiomes des groupes, excepté la loi associative. La définition usuelle est la suivante: un quasigroupe est un système multiplicatif $(E^2\rightarrow E)$ dont la loi de composition $(*)$ satisfait à l'axiome du quotient bilatère, pour tous $a,b\in E$, il existe uniquement $x,y$ tels que $x\ast a=b$, $a\ast y=b$. Pour donner prise au calcul les auteurs qui se sont occupés de cette branche des algèbres non-associatives ont été obligé de remplacer l'associativité par diverses lois plus faibles---dont on trouvera une liste presqu'exhaustive dans l'article du rapporteur [Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul Sér. A{\bf 22} (1957), 151--184; MR0106253 (21 \#4987)] et qui ont donné naissance à de nombreux types de quasigroupes. L'auteur expose les propriétés des plus intéressantes de ces espèces. \par À part la publication de R. H. Bruck [{\it A survey of binary systems}, Ergeb. Math. Grenzgeb. (N.F.), Heft 20, Springer, Berlin, 1958; MR0093552 (20 \#76)], dont sept chapitres sont consacrés aux quasigroupes, le livre de O. Borůvka [{\it Grundlagen der Gruppoid- und Gruppentheorie}, VEB Deutsch. Verlag Wissensch., Berlin, 1960; MR0117267 (22 \#8049); Czech translation, Naklad. Českoslov. Akad. Věd, Prague, 1962; MR0155921 (27 \#5854)] où quelques pages concernent les groupoïdes à division, le traité de G. Pickert [{\it Projektive Ebenen}, Springer, Berlin, 1955; MR0073211 (17,399e)], où sont exposés les rapports des quasigroupes orthogonaux avec les géométries finies et les propriétés des tissus, le travail d'A. Almeida-Costa [{\it Cours d'algèbre générale}, Vol. I, Fundaçao Calouste Gulbenkian, Lisbon, 1964], et un travail d'A. Kertész [Mat. Lapok {\bf 15} (1964), 87--113; MR0173725 (30 \#3935)], il n'existe dans la littérature aucun ouvrage d'ensemble exposant en un tout coordonné les plus importantes propriétés des quasigroupes. Les innombrables résultats obtenus au cours de ces dernières années en cet immense domaine sont épars dans un grand nombre de revues, parfois d'un accès difficile. L'exposé ici analysé comble en partie cette lacune, la limitation étant imputable aux seules exigences de l'édition. Pour ne pas excéder le nombre de pages prévu, l'auteur pouvait, en face d'une masse de travaux aussi riche, ou bien supprimer les éléments de base et se tenir à l'extrème pointe du front de recherches, ou se contenter de dresser un compendium. Il a préféré écarter délibérément certains chapitres et présenter le reste en un ensemble qui se suffise à lui-même. On se fera une idée du sacrifice consenti à la lecture de la bibliographie, qui contient 91 références, alors qu'une liste de plusieurs centaines de titres ne l'épuiserait pas. Les questions abordées sont: (1) Principaux concepts généraux et définitions. (2) Groupes de permutations régulières, autotopies des quasigroupes (principaux résultats de l'auteur, de Artzy, de Bruck, d'Aczél, de Stein et du rapporteur). (3) Opérations dérivées. $F$-Quasigroupes (extension des lois faibles de Hausmann-Ore, résultats de Murdoch et de l'auteur). (4) Homomorphisme; sous-quasigroupe normal (congruences, Bruck, Albert et récent papier de Cowell). (5) $I$-$P$-quasigroupes de Bruck, $x^{-1}(xy)=y=(yx)x^{-1}$. (6) Quasigroupes de Moufang (unité et $(xy)(zx)=[x(xz)]x$). (7) Quasigroupes demi-symétriques abéliens, $(xy)x=y$, $xy=yx$. Étude des parastrophies, des quasigroupes orthogonaux. (Depuis la mise sous presse de l'ouvrage, de récents travaux ont paru sur les propriétés des quasigroupes demi-symétriques.) (8) Quasigroupes distributifs, $x(yz)=(xy)(xz)$ \&$(xy)z=(xz)(yz)$; l'auteur expose la suite des recherches depuis l'origine [C. Burstin et W. Mayer, J. Reine Angew. Math. {\bf 160} (1929), 111--130] jusqu'à Ju. I. Sorkin [Moskov. Gos. Ped. Inst. Učen. Zap. Ser. Fiz. Mat. Vyp. 3 (1959), 82--92], J. M. Osborn [Amer. Math. Monthly {\bf 68} (1961), 103--107; MR0124374 (23 \#A1686); Illinois J. Math. {\bf 5} (1961), 565--584; MR0132801 (24 \#A2637)], C. Fulton [C. Fulton et S. K. Stein, Math. Ann. {\bf 134} (1957), 140--142; MR0092983 (19,1191f)], et présente ses propres travaux [l'auteur, Mat. Sb. (N.S.) {\bf 36} ({\bf 78}) (1955), 479--500; MR0069137 (16,990b); ibid. (N.S.) {\bf 50} ({\bf 92}) (1960), 267--298; MR0120304 (22 \#11059); Izv. Vysš. Učebn. Zaved. Matematika {\bf 1963}, no. 1 (32), 16--20; MR0147573 (26 \#5088); Bul. Akad. Štiince RSS Moldoven. {\bf 1965}, no. 7, 3--13; MR0194541 (33 \#2751); Publ. Math. Debrecen {\bf 12} (1965), 175--180; MR0195973 (33 \#4169)], ainsi que la connexion avec la géométrie. (9) Quasigroupes distributifs d'un seul côté. (10) $G$-Quasigroupes. Ce chapitre est l'un des plus intéressants du livre. On sait [Pacific J. Math. {\bf 9} (1959), 583--584; MR0108548 (21 \#7264)] que tout hyper-groupoïde, et par conséquent tout système associatif est isomorphe de ses isotopes. L'auteur nomme $G$-loops les quasigroupes avec unité qui sont isomorphes à chacun de leurs isotopes principaux. La question, soulevée par R. H. Bruck [Math. Z. {\bf 73} (1960), 59--78; MR0125895 (23 \#A3192)], attaquée par J. M. Osborn [Pacific J. Math. {\bf 10} (1960), 295--304; MR0111800 (22 \#2660)] dans le cas $x(yz)=1$ si et seulement si $(xy)z=1$, n'a encore reçu que des réponses partielles et seulement en postulant une condition limitative. L'auteur a obtenu des résultats nouveaux [Mat. Sb. (N.S.) {\bf 45} ({\bf 87}) (1958), 51--70; MR0093556 (20 \#80); {\it Studies in algebra and mathematical analysis\/} (Russian), pp. 11--21, Izdat. ``Karta Moldovenjaske'', Kishinev, 1965; MR0201556 (34 \#1438)]. Si un quasigroupe $Q$ avec unité possède un nucleus (intersection des trois associateurs), d'index 2, alors $Q$ est un $G$-loop. Pour approcher d'une réponse générale il serait digne d'intérêt d'examiner les quasigroupes $Q=E(\ )$, pour lesquels la partition d'isomorphisme définit des blocs d'égale puissance, celle-ci devenant $|E|$ dans le cas actuel. (11) Le dernier chapitre traite des tissus, en tant que quasigroupes et présente, avec les propriétés générales de ceux-ci (Bol, Blaschke), les derniers travaux de J. Aczél [Advances in Math. {\bf 1}, fasc. 3, 383--450 (1965); MR0193174 (33 \#1395)], Rado et Pickert, et d'Artzy. \par Le volume se termine par une liste de 20 problèmes, dont certains ont reçu une solution depuis la rédaction du livre. Par exemple, la question 4 est résolue par le rapporteur [Univ. Lisboa Revista Fac. Ci. A. (2) {\bf 11} (1964/65), 121--136, No. 12 (iv); MR0201555 (34 \#1437)]. L'auteur a dû renoncer à développer une foule de chapitres intéressants, dont la moindre partie est: étude détaillée des quasigroupes orthogonaux, des systèmes demosiens, des quasigroupes parastrophiques (en particulier des demi-symétries), des nuclei,... pour lesquels il a dû se contenter de rapides indications. Un index des symboles, des néologismes et des définitions, avec renvoi aux pages (non aux paragraphes) aurait été apprécié. Le rapporteur voudrait se permettre de formuler deux souhaits: (1) la prochaine publication d'un tome II, (2) celle d'une traduction. L'une et l'autre seraient accueillies avec enthousiasme par tous les spécialistes qui ne se résignent pas voir dans la théorie des quasigroupes un épisode mineur, à côté de l'édification des algèbres non-associatives.