부산대학교 도서관

Es wird die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung des Anfangswertproblems $$ x^{(m)}=X(t,x,\cdots,x^{(m)},\int_0^t\varphi(t,s,x(s),\cdots,x^{(m)}(s))\,ds), $$ $x^{(k)}(0)=x_0{}^{(k)}\ (k=0,\cdots,m-1)$ für $t\geq 0$ bewiesen ($x$ ein $n$-dimensionaler Vektor, $x^{(k)}=d^kx/dt^k$, $\varphi$ ein $p$-dimensionaler Vektor). Da man $x,\cdots,x^{(m-1)}$ eindeutig durch $x^{(m)}$ ausdrücken kann, ist das Anfangswertproblem einer Operatorgleichung der Form $u=Pu$ mit $u=x^{(m)}$ äquivalent. Die Voraussetzungen sind so gewählt, daß\ auf diese der Schaudersche Fixpunktsatz anwendbar ist. Beim Beweis der Eindeutigkeit wird das Lemma von Gronwall benutzt.