부산대학교 도서관

현재 우리 교육과정에서는 고전적 관점에서 집합론적이고 조합론적인 접근방법으로 조건부확률을 지도하고 있기 때문에, 독립성과 종속성의 이해보다는 확률을 구하는 계산 연습에 치중하고 있다. 또한, 조건부확률을 이용하여 독립과 종속을 형식적으로 정의하고 있기 때문에, 독립과 종속에 대한 개념을 풍부하게 만들어 줄 필요가 있다. 본 연구는 기존의 조건부확률 지도 방식을 보완하고자 하는 것이다. 학생들로 하여금 조건부확률을 도입할 필요성을 자연스럽게 느끼도록 하며, 점진적으로 형식화함으로써 학생들에게 유의미한 학습이 되도록 개선할 수 있는 방안을 모색해 보기 위하여 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다.가. Freudenthal의 수학화 학습지도 원리에 따른 조건부확률 지도 방식은 무엇인가?나. Freudenthal의 수학화 학습지도 원리에 따른 조건부확률 학습지도에서 나타나는 특성은 무엇인가?위의 연구 문제 해결을 위해 Freudenthal의 수학화 학습지도 원리에 따른 조건부확률 지도 방식을 실제로 학습자에게 적용하여, 조건부확률을 지도할 때 나타나는 학습 과정의 특성을 알아보고자 한다. 이 때 수업참여자에 대한 관점을 잘 이해하고, 수업 상황을 상세히 서술하며 분석된 특성들의 심층적인 이해를 얻기 위해서 결과 지향적인 연구보다는 과정 지향적인 연구 방법이 바람직한데, 본 연구는 이러한 취지에서 정성적 사례연구를 실시할 필요가 있다.조건부확률 개념의 역사발생적 배경과 Freudenthal의 수학화 학습지도 원리를 고찰하고, MiC 교과서, IMP 교과서, CPMP 교과서 등의 조건부확률 지도방법을 분석한 후, 교사의 적절한 안내에 따라 학습자가 스스로의 활동을 통하여, 수학적 개념을 자신의 현실로부터 수학화 과정을 통해 재발명해 갈 수 있도록 구성하였다.현행 교육 과정과 비교하여 본 Freudenthal의 수학화 학습 지도 원리에 따른 조건부확률 지도 방식은 다음과 같은 특징이 있다. 첫째, 조건부확률에 대한 내용을 점진적으로 도입하여 형식화한다. 현행 교과서에서는 조건부확률을 간단한 예를 통하여 형식적인 방법으로 도입하고 있으며, 바로 그 형식화된 공식을 가지고 문제풀이에 활용하고 있다. 그러나 Freudenthal의 수학화 학습 지도 원리에 따르면 표본공간의 변화에 대한 확률값의 변화를 살펴봄으로써 조건부확률을 제대로 이해할 수 있을 것으로 본다. 조건의 변화에 대한 표본공간의 변화를 살펴보고, 표본공간이 변함으로써 확률값이 달라진다는 것을 살펴봄으로써, 조건부확률의 의미를 비형식적으로 알게 되고, 그 의미를 이해할 수 있게 된다. 그리고 비형식적인 정의만을 사용하여 문제를 풀 수 있도록 하며, 차츰 형식화 한다. 둘째, 독립과 종속에 대한 개념도 비형식적으로 도입하고, 점진적으로 형식화해 나가고 있다. 앞에서 비형식적으로 정의된 독립, 종속과 조건부확률을 점진적으로 형식화함으로써 학생들로 하여금 상황의 이해가 용이하도록 하고 있으며, 이는 문제해결 전략에도 도움을 줄 것이다. 조건부확률에 대한 공식과 독립일 필요충분조건에 대한 점진적 형식화를 통하여 학생들의 개념 이해가 완전해 질 것이다. 셋째, 조건부확률을 학생들이 제대로 이해하지 못하는 이유 중의 하나로 독립과 종속에 대한 개념이 부족하기 때문인 것으로 선행연구에서 지적했는데, 독립과 종속에 대한 개념을 조건부확률에 선행해서 지도함으로써 학생들은 조건부확률을 더욱 의미 있게 받아들일 수 있도록 한다.Freudenthal의 수학화 학습지도 원리에 따른 조건부확률 지도 방식을 적용하여 사례 연구를 실시하였고, 그 결과를 학습 과정 측면과 학습 수준 측면으로 나누어 분석하여 내린 결론은 다음과 같다.첫째, 학생들이 반성적 사고를 한다는 것은 수학적으로 의미 있는 난관에 부딪쳤을 때 새로운 것과 기존 지식을 관련지으려고 노력하는 것이다. 독립과 종속, 그리고 조건부확률 개념에 대한 바른 인식을 가지게 하기 위해서 제시된 맥락 문제에서 학생들은 난관에 부딪쳤고, 이를 해결하기 위해서 학생들은 다양한 수학적 도구의 의미를 구성하고, 이를 활용함으로써 발전적 이해를 할 수 있게 되며, 이를 통하여 문제를 해결하게 된다. 이 과정에서 교사는 계속적인 발문과 안내를 통하여 학생들은 그 개념을 재발명해 나가게 된다.둘째, 문제 해결을 위한 적절한 수학적 도구를 학습자 스스로 구성하게 되었으며, 이를 활용하여 의사소통하거나 기록 또는 사고를 해 나가며 문제를 해결하게 되었다. 같은 수학적 도구라 할지라도 학생들은 저마다의 의미를 가지고 구성하였으므로, 수학적 도구의 활용 과정에서 교사의 세심한 관찰과 지도가 요구된다.셋째, 독립ㆍ종속과 조건부확률의 개념을 비형식적인 방법으로 도입하여 점진적으로 형식화함으로써 학습 수준의 상승이 단계적으로 차근차근 이루어지게 되었다. 맥락문제를 통하여 비형식적인 방법으로 독립ㆍ종속과 조건부확률의 개념이 형성될 때 학생들은 mental objects를 구성할 수 있었으며, 이렇게 구성된 mental objects는 수준 상승에 도움을 주게 되었다. 이렇게 ‘주관적 사고수준’에서 ‘수적인 사고수준’으로의 상승이 단계별로 이루어지게 됨으로써 학생들은 독립과 종속, 조건부확률에 대한 개념이 풍부해지고, 학습활동이 유의미해 지게 된다.본 연구는 학생들이 조건부확률 학습에 대해 어려움을 느끼는 동시에 교사들도 지도에 어려움을 겪고 있는 현실에 착안하여 조건부확률 개념 지도 방식에 대한 개선 방향을 모색하고자 했다. 확률적 사고의 중요한 부분을 차지하는 조건부확률을 맥락문제로부터의 비형식적인 학습으로부터 점진적 형식화를 활용한 학습을 통하여 확률적 사고를 풍부하게 할 수 있을 것으로 기대된다. Freudenthal의 수학화 학습지도 원리를 배경으로 하는 조건부확률 지도 방식을 도입하여 적용해 보고, 실제 학습 과정에서 나타나는 특징을 알아보았다. 본 연구를 통해 조건부확률의 지도에 대한 실제적인 정보를 제공할 수 있기를 기대하며, 이에 근거해 후속연구들은 더 나은 방법론을 보여줄 수 있기를 기대한다.
Since the current education approaches to the conditional probability from a classical perspective, that is, the set and the combination, students focus on just performing calculation practices, rather than understanding the concept of independency and dependency. As conditional probabilities are superficially defined, a richer concept with regard to independency and dependency needs to be taught. The present study has a purpose to complement the previous educational method of conditional probabilities. To let students naturally feel the necessity of using the conditional probability concept and to make this process be gradually done, this study intends to find a useful learning method for students. Thus, the research issue is set as follows.I. What is the teaching method of conditional probabilities according to the educational principle of Freudenthal's mathematizing?II. What is the feature appearing in teaching conditional probabilities according to the educational principle of Freudenthal's mathematizing?To answer those questions, the teaching method following the educational principle of Freudenthal's mathematizing is actually applied to learners and the feature of learning process during the conditional probability education is examined. A process-oriented research method, rather than an outcome-oriented research method, is better in order to understand learner's perspective, to describe class situations, and to deeply investigate analyzed features. Therefore, a qualitative case study needs to be performed.This study is composed of several sections; first, the historical background of a conditional probability concept and the educational principle of Freudenthal's mathematizing are reviewed; second, the instruction guide of the conditional probability is analyzed with MiC, IMP, and CPMP textbook; third, the mathematizing process that learners re-invent mathematical concepts through their own activities is explained.Compared with the current educational procedure, the teaching method of conditional probabilities that follows the educational principle of Freudenthal's mathematizing has noticeable features. First, the conditional probability is introduced and gradually formalized. The present textbook formally introduces the conditional probability with simple examples, and problems are solved with formalized formulas. If it is shown that probabilities change correspondingly to the sample space change, conditional probabilities are easier to understand. Students can learn and understand conditional probabilities informally by observing that the change of conditions leads to sample space changes and, then, the changed sample space causes the probability changes. As a result, they can solve problems only with informal definitions and this process is getting to be formalized. Second, the concept of independency and dependency is initially introduced informally and, then, it is gradually formalized. Students get to understand situations more clearly by the gradual formalization of independency, dependency, and conditional probability, which is eventually helpful for students to solve the problems. The gradual formalization of conditional probability formulas and of the necessary and sufficient condition about independency makes it easier for students to completely understand those concepts. Third, previous studies pointed out that the lack of understanding of conditional probabilities is due to the insufficient explanation about independency and dependency. Thus, if these concepts are taught earlier than the conditional probability, students could accept the meaning of conditional probabilities more clearly.A case study was performed in terms of the application of the educational principle of Freudenthal's mathematizing to the lecture for conditional probabilities. The results are analyzed in two aspects: the learning process and the learning level. Specific results are as follow.First, the reflective thinking means that learners try to connect new knowledge with previous one when they are faced with difficulties. Students are supposed to meet with difficulties in the contextual problems that are presented for their better understanding of independency, dependency, and conditional probabilities. To solve problems, they cannot but compose and use various mathematical tools, which improves their understanding. In a meanwhile, teachers keep asking questions and guide for students to re-invent relevant concepts.Second, learners get to compose appropriate mathematical tools for problem solving and, then, find the solution by communication, writing, and thinking. Since even the same mathematical tools are differently composed by each student, teachers need to carefully observe and guide them in this process.Third, the learning level has been improved in stages by introducing the concept of independency, dependency, and conditional probabilities in an informal way and by gradually formalizing them. In the stage of forming the concept of independency, dependency, and conditional probabilities, students could informally construct mental objects through contextual problems, which led to their learning level increase. Like this, the 'subjective thinking level' has been transferred to the 'numerical thinking level' by stages. Students have richer concepts and perform meaningful learning activities eventually.This study, paying attention to the current situation where students feel difficulties in learning conditional probabilities and teachers also have the same difficulties in teaching the concept, intends to find how to improve the teaching method of conditional probabilities. The conditional probability is an essential part of probabilistic thinking. It is expected that the informal learning of conditional probabilities with contextual problems and the gradual formalization of the concept make the probabilistic thinking possible. In this study, the educational principle of Freudenthal's mathematizing is applied and the relevant features appearing in the learning process are examined. Therefore, it is expected that this study provides with practical information for teaching conditional probabilities and future research could show better methodologies based on this.