부산대학교 도서관

본 연구는 스킴 이론을 기반으로 한 중학생들의 양적 추론 문제에 대한 질적 사례연구로써 문제 해결 과정에서 나타나는 중학생들의 곱셈적 사고의 수준에 따른 분수 지식과 대수적 추론을 분석하고 이를 통하여 문제 해결과정에서 드러난 학생들의 지식이 어떻게 연결되는지 찾아 시사점을 논의하는데 목적이 있다. 구체적인 연구문제는 다음과 같다. 가. 분수에 대한 양적 추론 문제 해결 과정에서 곱셈적 사고의 수준에 따라 나타나는 학생들의 분수 지식은 어떠한가? 나. 대수식 쓰기 문제 해결 과정에서 곱셈적 사고의 수준에 따라 나타나는 학생들의 대수적 추론은 어떠한가? 다. 분수에 대한 문제 해결과정과 대수식 쓰기 문제 해결과정에서 드러난 학생들의 지식은 어떻게 연결되는가?위 연구문제를 해결하기 위하여 서울시와 청주시에 소재한 중학교 1～2학년 학생 7명을 대상으로 과제 기반의 임상 면담을 실시하였다. 면담 중 진행분석을 실시하며 각 차시의 면담 녹화 자료 및 문항지 등을 수집하였고, 수집한 자료들을 바탕으로 회고분석을 실시하여 분수 지식과 대수적 추론을 분석하고, 이를 토대로 학생들의 지식간의 관계를 면밀하게 분석하였다. 연구의 결과는 다음과 같다.첫째, 분수에 대한 양적 추론 문제 해결 과정에서 MC2 학생들은 공통적으로 반복 분수 스킴, 연산자 분수 개념을 형성하지 못하였고 분할 분수 스킴은 있었으며 학생에 따라 재귀적 분할, 분배 분할 조작과 분배 추론, 분수 합성 스킴은 다르게 나타났다. MC3 학생들은 모두 반복 분수 스킴, 역 반복 분수 스킴, 연산자 분수 개념이 있었으며 학생에 따라 재귀적 분할, 분배 분할 조작과 분배 추론, 분수 합성 스킴은 다르게 나타났다.둘째, 대수식 쓰기 문제 해결 과정에서 MC2 학생들은 미지의 두 양 사이의 곱셈적 관계에 대해서 그림으로 표현할 수 있었으나, 두 양 사이의 관계가 자연수일 때 시간이 걸려 곱셈과 나눗셈, 자연수만을 이용한 식으로 표현할 수 있었다. 두 양사이의 관계가 분수일 때는 식으로 표현하지 못하였다. 분배 상황에서는 학생에 따라 그림과 식 표현에 차이가 있었다. MC3 학생들은 모두 미지의 두 양 사이의 곱셈적 관계를 그림과 식으로 표현할 수 있었으나, 상호적 추론은 다르게 나타났다. 분배 상황에서는 모든 학생들이 그림과 식으로 표현할 수 있었으나, 미지의 양이 동일할 때와 다를 때 분배 추론은 다르게 나타났다.셋째, 분수 지식과 대수적 추론의 특징을 연결 지어 분석한 결과 세 가지 요소로 나누어 파악할 수 있었다. 1) MC2 학생들 모두 알려진 양과 미지의 양 사이의 곱셈적 관계가 분수일 때 미지의 양은 잘 구하였으나, 문제 A1에서의 대수식 쓰기는 다르게 나타났다. 분수 문제에서 지속적으로 2-수준 단위구조로만 추론하는 학생은 대수식 쓰기에 오랜 시간이 걸렸고, 행동을 거쳐 나눗셈 식을 쓸 수 있었으나, 이는 문자의 산술적 사용에 그쳤다. 2) MC2 학생들은 공통적으로 반복 분수 스킴, 연산자로서의 분수 개념을 구성하지 못하였고 이는 대수식 쓰기의 모든 문제에서 MC3 학생과 차이가 드러났다. 3) 반복 분수 스킴의 구성 여부가 같을 때, 분배 분할 조작에 따라 학생들의 상호적 추론과 분배 상황에서의 대수식 쓰기, 속력 관련 문장제 문제 해결이 다르게 나타났다.연구 결과를 통해 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 학생들이 곱셈적 관계가 포함된 식에서 대수식 표현 및 추론을 하기 위해서는 반복 분수 스킴의 구성, 연산자 분수의 의미 이해가 필요한데 이를 위해서는 단위 분수를 반복 가능한 단위로 이해하는 것이 중요하다. 또한, 곱셈적 관계가 포함된 식에서 문자의 대수적 사용을 위해서는 최소한 3-수준의 단위구조가 필요하다. 따라서, 중학교에서 대수학습에 어려움을 겪는 학생들에게 단위 분수를 반복 가능한 단위로 파악할 수 있는 경험과, 전체-부분의 의미뿐만이 아닌 연산자로서의 분수의 의미에 대한 풍부한 학습 기회를 제공하여야 하고, 학생들이 2-수준에서 3-수준 단위구조로 나아갈 수 있는 상황에 관해 고민해보아야 한다.둘째, 미지의 양에 대한 상호적 추론 및 양적 상황에 대한 파악을 통해 대수식을 의미 있게 이해하기 위해서는 분배 분할 조작의 구성이 이를 촉진시킬 수 있으며, 이는 3-수준 단위 구조를 내면화 했다고 해서 자연스럽게 나타나는 조작은 아니기 때문에 이에 대한 학생들의 구성을 도와줄 수 있는 문제 상황 제시가 필요하다.본 연구는 우리나라 중학생들의 양적 추론 문제 해결 과정에서 나타나는 중학생들의 분수 지식과 대수적 추론을 분석하고 이를 연결하여 설명함으로써, 대수 학습에서 학생들의 수준에 맞는 지도 방법이나 문제 제시. 학생들에 대한 이해를 돕기 위한 참고자료로 도움이 되기를 기대한다.