부산대학교 도서관

함수 및 미적분의 학습에 있어 공변적 사고의 중요성이 강조됨에 따라 이와 관련한 학생들의 사고방식을 깊이 있게 이해해야할 필요성이 증대되고 있다. 본 연구에서는 수치가 주어지지 않은 변화 상황을 그래프로 나타낼 때 학생들이 구성하는 양과 양적 조작을 탐색함으로써 공변 추론과 관련한 연구에 기초를 제공하고자 하였다. 이를 위해 고등학교 1학년 학생 8명을 2명씩 4조로 나누어 각 조당 5차시씩 총 20차시의 임상면담을 실시하였다. 면담을 통해 수치가 주어지지 않은 변화 상황을 그래프로 나타낼 때 학생들이 양들을 조작하고 관계 짓는 방식, 연속적인 변동을 추론하는 방식, 속도를 양으로 구성하고 그래프로 나타내는 방식을 탐구하였다. 첫째, 수치가 주어지지 않은 변화 상황을 그래프로 나타낼 때 학생들이 양들을 조작하고 관계 짓는 방식에 대한 연구 결과는 다음과 같다. 학생들은 먼저 문제 상황과 관련된 양, 변화량, 속도, 좌표평면 및 그래프와 관련된 양들에 주목하였다. 그 다음 한 양을 등간격으로 나누어 그것을 기준으로 설정한 후, 그에 따라 여러 가지 양들을 서로 관계 지어 문제 상황에 대한 자신만의 양적 구조를 형성하였다. 일부 학생들은 몇 개의 등간격을 기준으로 형성한 양적 구조를 더욱 세분된 구간에서도 유지하여 일반화된 새로운 양적 구조를 형성하였다. 학생들은 자신이 구성한 양적 관계를 그래프로 나타내기 위해 x축의 길이, y축의 길이, 기울기를 특정 양들과 연결하여 함께 조작하였다. 둘째, 본 연구에서는 학생들이 연속적인 변동을 추론하는 방식에 대해 Castillo-garsow(2012)가 제시한 덩어리 추론, 매끄러운 추론이라는 두 가지 추론 방식을 네 가지로 확장하였다. 즉 학생들의 연속 변동 추론 방식을 어떠한 덩어리도 나누지 않는 추론, 몇 개의 덩어리를 통한 추론, 무수히 많은 덩어리를 통한 추론, 매끄러운 추론으로 구분할 수 있었다. 셋째, 수치가 주어지지 않은 변화 상황에서 학생들이 속도를 양으로 구성하고 그래프로 나타내는 방식에 대한 연구 결과는 다음과 같다. 학생들은 문제 상황에서 주목한 양들의 관계로 높이 변화의 속도를 인식하였다. 또한 높이 변화의 속도를 y축의 길이와 연결하여 속도의 구체적인 강도를 측정하고 양으로 조작할 수 있었다. 시간에 따른 속도의 크고 작음을 y축 상에 나타내게 됨으로써 학생들은 속도 그래프의 대략적인 증감 개형을 그릴 수 있었다. 일부 학생들은 속도와 가속도를 구분하여 속도 그래프의 개형을 더욱 정확하게 나타낼 수 있었다. 공변 추론 연구 분야에 기대하는 본 연구의 시사점은 다음과 같다. 첫째, 학생들이 공변하는 두 양에 대해 추론할 때 바탕이 되는 양적 조작 방식의 일부를 밝힘으로써 공변 추론에 관한 학생들의 행동을 설명할 수 있는 새로운 방법을 제시하였다. 둘째, 양화의 개념을 새롭게 확장함으로써 수치가 주어지지 않은 상황에서의 학생들의 양적 조작을 설명할 수 있는 이론적 배경을 마련하였다. 셋째, 학생들의 연속 변동 추론에 대한 기존 연구 결과를 확장하였다. 넷째, 수치나 비를 기반으로 하지 않더라도 학생들이 속도 자체를 양으로 구성하고 조작할 수 있다는 결과를 통해 학생들의 양적 추론에서 출발한 변화율 학습에 대한 가능성을 제시하였다.