부산대학교 도서관

본 연구에서는 함수의 개념정의 진술을 통해 고등학생들이 어떤 관점으로 함수 개념을 받아들이고 있는 가와 함수 개념정의에 따른 개념이미지가 어떻게 확장되는 지를 분석하여, 두 집합 사이의 대응이라는 함수 개념의 필요성을 인식하도록 다음과 같은 연구문제를 설정하였다.1. 대응의 관점에서 고등학생들이 가지고 있는 함수 개념정의는 어떠한가? 1-1. 함수의 관점에서 수학적 용어는 어떠한가? 1-2. 함수의 여러 가지 측면에서 수학적 용어는 어떠한가?2. 대응의 관점에서 고등학생들이 가지고 있는 함수 개념이미지는 어떠한가? 2-1. 개념이미지 유형은 어떠한가? 2-2. 규칙성에서 임의의 대응으로의 확장은 어떠한가? 2-3. 실수집합에서 임의의 집합으로의 확장은 어떠한가? 연구문제를 해결하기 위하여 정량 및 정성의 상호 보완적 성격을 지닌 혼합 연구를 채택하여 실시하였다. 17문항을 설문지로 개발하여 고등학교 1학년 2개반 59명과 2학년 2개반 52명 총 111명에게 설문지 반응 조사를 실시하였다. 각 문항별 학생의 정답과 이유가 불일치하여 요인 분석의 어려움이 있어 이를 보완하기 위해 과제기반 면담을 추가로 실시하였다. 1학년 3명, 2학년 3명 총 6명을 면담자로 선정하고, 과제기반 면담을 실시하였으며 학생과의 면담 내용은 녹화와 전사과정을 거쳐 분석하였다. 먼저 고등학생들이 함수 개념정의를 진술에 사용하는 수학적 용어를 통해 함수의 관점과 함수의 여러 가지 측면을 분석하였다. 또한 함수 개념이미지에 나타나는 특성을 파악하기 위한 문항을 개발하여 함수 개념이미지 유형을 분석하였다. 그리고 ‘규칙성에서 임의의 대응’으로의 개념 확장과 ‘실수집합에서 임의의 집합’으로의 개념 확장을 통해 현대적인 Dirichlet-Bourbaki의 함수 개념화에 필요한 ‘임의성’을 점검하였다. 이에 다음과 같은 연구 결과를 얻을 수 있었다. 1. 연구문제 1 첫째, 대응의 관점에서 함수 개념정의를 배운 직후였음에도 불구하고 학생들은 종속 > 혼합 > 대응의 관점 순으로 함수 개념을 진술하였다. 수학적 용어의 제시 후에는 대응 > 혼합> 종속의 관점 순으로 변화하여, 수학적 용어를 탐구하면서 대응의 관점에서 함수 개념을 인식하는 모습이 드러났다. 설문지 반응 조사와 과제기반 면담에서 학생들이 종속의 관점에서 대응의 관점으로 함수 개념정의 진술을 변경할 때 ‘집합’과 ‘대응’이라는 수학적 용어에 대한 인식이 크게 영향을 미쳤다. 둘째, 고등학생들은 함수의 여러 가지 측면 중에서 ‘그래프’와 ‘식’을 함수를 표현하는 개념이미지 보다는 함수 자체인 개념정의로 인식하였다. 함수의 여러 가지 측면 중 ‘그래프’와 ‘식’에 대한 인식이 뚜렷하기 때문에 함수의 개념정의와 개념이미지를 혼동하는 경향이 나타났다. 또한 교과서에 제시된 표현의 관점에서 함수 개념이미지를 좀 더 쉽게 진술한 반면 함수 개념정의 진술을 어려워했다. 셋째, 초등학교에서 ‘함수’라는 수학적 용어를 지도하지 않기 때문에 초등학교에서 배운 규칙찾기와 함수 개념을 연결하는 데에 어려움을 겪었다. 또한 고등학생들은 중학교에서 배운 함수와의 차이점을 ‘식이나 그래프가 복잡해 졌다’로 대부분 진술하였다. 이를 통해 고등학생들이 함수의 관점이 ‘변화하는 두 양 사이의 관계’에서 ‘두 집합 사이의 대응’으로 변화되고 확장된 사실을 인식하지 못하는 것으로 드러났다. 2. 연구문제 2 첫째, 고등학교 2학년 학생들은 1학년 학생들에 비해 ‘식’과 ‘그래프’에 편중된 함수 개념이미지를 가지고 있는 것으로 나타났다. 2학년 학생들의 경우 식에서 사용하는 함수의 개념이미지 유형을 분석한 결과, 함수의 진위 여부를 판별할 때 ‘식으로 풀어서’, ‘그래프로 그려서’ 판별하였다. 이러한 편협한 개념이미지의 사용은 정의역을 무시하여 오답률이 높았을 뿐만 아니라 정의역과 공역이 실수가 아님에도 불구하고 그래프로 나타내는 실수를 범하게 하였다. 둘째, 고등학교 1학년 학생들의 경우 ‘대응 그림’을 주로 함수 개념이미지로 사용하는 것으로 나타났다. 정의역이 집합 로 주어질 경우에는 함수의 개념이미지로 대응 그림을 떠올리는 것이 문제 해결에 유용하였으나 정의역이 집합 로 주어질 경우에는 대응 그림을 떠올리는 것이 오히려 문제 해결에 방해가 되었다. 이는 두 집합 사이의 대응을 그래프나 식으로 자유자재로 연결해 본 경험이 부족한 것에 기인된 것으로 보인다. 셋째, ‘대응 그림’을 분석하여 고등학생들이 함수 개념을 규칙성에서 임의의 대응으로 확장하여 인식하는 지를 확인하였다. 임의의 대응 중 일가성에 대한 이해도는 높은 반면, 임의의 대응에 대한 이해도는 낮은 편임을 문항 분석을 통해 확인할 수 있었다. 고등학생들은 대응 그림에서 나타난 벤다이어그램을 ‘집합’으로 인식하지 못하였으며, 집합의 원소는 순서에 상관없이 나열할 수 있다는 사실을 대응 그림에서 적용하지 못했다. 넷째, 교과서에서는 함수의 진위 여부를 판별하는 데에 대응 그림, (정의역이 주어진) 그래프, 식으로 개념이미지를 한정해 사용했다. 이에 학생들이 경험하지 못한 (정의역이 주어지지 않은) 그래프와 순서쌍으로 함수 개념이미지를 제시해 보았다. 고등학생들이 실수의 집합에서 임의의 집합으로 함수 개념을 확장할 수 있는 지를 분석한 결과, 규칙성이 없음에도 불구하고 함수가 규칙적이라고 생각하거나 정의역을 자의적으로 결정하여 해석하는 오류를 발견할 수 있었다. 다섯째, 고등학생들은 초등학교에서 배운 대응표를 나타내는 적절한 식을 표현할 때, 정의역을 쓰지 못했다. 이는 주어진 정의역에서 식을 찾는 데에만 국한되어 함수 개념이미지를 사용했기 때문이라 생각된다. 따라서 스스로 함수를 찾아서 정의역을 쓰는 활동을 통해 실수 집합에 한정된 함수 개념을 임의의 집합으로 확장할 수 있는 계기를 마련하였다. 종합해 보면 학생들이 수학적 용어를 활용해 종속의 관점에서 대응의 관점으로 함수의 관점이 변화하는 과정을 살펴본 결과, 개념정의를 진술하고 ‘집합’과 ‘대응’ 등의 수학적 용어를 탐구하도록 하는 것이 대응의 관점에서 함수 개념정의를 획득할 수 있도록 돕는 것으로 확인되었다. 또한 초등학교와 중학교에서 자신이 기존에 가지고 있던 함수 개념과 대응의 관점에서 함수 개념을 적절히 연결해 보는 활동이 개념 이해의 어려움을 극복할 수 있도록 도울 것으로 기대된다. 함수 개념이미지 유형에서 고등학교 1학년과 2학년 학생이 가진 특성이 다르게 나타났으며, 대응의 관점에서 편협한 개념이미지 유형에서 벗어나 개념이미지를 다양하게 경험하고 확장할 수 있는 계기를 제공해야 한다. ‘함수의 개념이미지 유형의 연결’과 ‘임의의 대응과 임의의 집합에 대한 확장을 통한 임의성 인식’은 대응의 관점에서 함수 개념정의와 개념이미지를 올바르게 연결할 수 있도록 돕는 것으로 분석되었다. 따라서 ‘두 집합 사이의 대응’을 다양하게 경험하도록 하는 것이 함수의 진위여부를 판별하거나 문제 해결에 치중된 현행 교과서에 대한 대안적인 접근 방법이 될 수 있겠다. 함수 개념정의와 개념이미지에 대한 다양한 경험을 제공하는 것은 이후의 낯선 함수를 학습하는 과정에서 매우 중요한 역할을 하므로 대응의 관점에서 함수 개념 분석을 토대로 다양한 함수의 개념 획득 단계를 제공하는 것이 필요할 것이다.